Sredni rozmiar ziarna w proszku o wykadniczo-potegowym rozkadzie wielkosci ziaren

W celu wyprowadzenia relacji pomiedzy srednim rozmiarem ziarna a srednia dugoscia kolumny komórek elementarnych wyznaczana metoda Warrena-Averbacha, scakujemy dystrybucje ksztatu kuli (2.5) z wykadniczo-potegowym rozkadem wielkosci ziaren (2.43) i znajdziemy pochodna tej caki dla r bliskich zera. Caka wynosi:

$$\approx \int\limits_{{0}}^{{\infty }} {\frac{{R_{0}^{-m-1}}}{{\Gamma (m+1)}}} {\frac{{(R-r)^{2}\cdot (2R+r)}}{{2R^{3}}}}$$ =

$${\frac{{r^{3}\Gamma (m-2)-3rR_{0}^{2}\Gamma (m)}}{{2R_{0}^{3}\Gamma (m+1)}}}$$ = (3.13)

gdzie m i R₀ sa parametrami wykadniczo-potegowego rozkadu wielkosci ziaren. Jest to dystrybucja ksztatu sredniego ziarna proszku dla r $\approx$ 0. Podobnie jak poprzednio obliczymy pochodna tej dystrybucji, stanowiaca wspóczynnik kierunkowy prostej, uzywanej w metodzie W-A do ekstrapolacji sredniego rozmiaru ziarna:

$$\left.\vphantom{ \frac{d}{dr}<SD>(r\approx 0,R_{0},m)}\right. {\frac{{d}}{{dr}}} \approx \left.\vphantom{ \frac{d}{dr}<SD>(r\approx 0,R_{0},m)}\right\vert _{{r=0}}^{} \left.\vphantom{ \frac{3(r^{2}\Gamma (m-2)-R_{0}^{2}\Gamma (m)}{2R_{0}^{3}\Gamma (m+1)}}\right. {\frac{{3(r^{2}\Gamma (m-2)-R_{0}^{2}\Gamma (m)}}{{2R_{0}^{3}\Gamma (m+1)}}} \left.\vphantom{ \frac{3(r^{2}\Gamma (m-2)-R_{0}^{2}\Gamma (m)}{2R_{0}^{3}\Gamma (m+1)}}\right\vert _{{r=0}}^{} {\frac{{3}}{{2mR_{0}}}}$$ (3.14)

skad srednia dugosc kolumny wyznaczanej z analizy W-A jest (po podstawieniu (2.47) i (2.48)):

$${\frac{{1}}{{a}}} {\frac{{2mR_{0}}}{{3}}} {\frac{{2}}{{3}}} {\frac{{<R>^{2}-\sigma ^{2}}}{{<R>}}}$$ (3.15)

Sredni rozmiar ziarna wynosi:

$${\frac{{3}}{{4}}} \sqrt{{\frac{9}{16}<L>^{2}+\sigma ^{2}}}$$ (3.16)

Jak widac srednia dugosc kolumny (3.15) dla proszków z rozkadem wielkosci ziaren zalezy od dyspersji tego rozkadu. Dla dyspersji wyraznie mniejszych od < R > zaleznosc ta jest saba z powodu drugiej potegi przy obu zmiennych. W granicy $\sigma$ $\rightarrow$ 0 wyrazenie (3.15) redukuje sie do postaci odpowiadajacej proszkowi bez dyspersji rozmiarów ziaren (3.7). Oznacza to, ze metoda Warrena-Averbacha poprawnie funkcjonuje dla proszków z nieznaczna dyspersja rozmiarów, co pokazano na rys. 3.3.

Figure: Sredni rozmiar ziarna otrzymywany metoda Warrena-Averbacha (podany tu jako procent rzeczywistego rozmiaru ziarna, % < R >) zalezy od wzglednej szerokosci rozkadu wielkosci ziaren. Metoda W-A dobrze pracuje dla proszków monodyspersyjnych (duze wartosci ${\frac{{<R>}}{{\sigma }}}$). Dla rozkadów bardzo szerokich ( ${\frac{{<R>}}{{\sigma }}}$ < 1) metoda jest nieskuteczna, gdyz styczna do uzywanego w tej metodzie szeregu cosinusów A_n nie przecina osi X.

W praktyce doswiadczalnej mamy czesto do czynienia z wiekszymi dyspersjami. Rozrzut wielkosci ziaren zawsze obecny w rzeczywistych proszkach moze byc przyczyna znacznych rozbieznosci wyników otrzymywanych metoda W-A i technikami mikroskopowymi. Dla upewnienia sie, ze wyniki analizy W-A zaleza od szerokosci rozkadu wielkosci ziaren proszku nie tylko dla rozkadu wykadniczo-potegowego, sprawdzony zostanie jeszcze przypadek najpowszechniej wystepujacego rozkadu log-normalnego.