Sredni rozmiar ziarna w proszku o log-normalnym rozkadzie wielkosci ziaren

Dystrybucja ksztatu odpowiadajaca usrednionemu ziarnu w proszku o log-normalnym rozkadzie wielkosci ziaren dla r bliskich zera wynosi:

$$\approx \sigma_{{o}}^{} \int\limits_{{0}}^{{\infty }} {\frac{{1}}{{\sigma _{o}R\sqrt{2\pi }}}} \left(\vphantom{ \frac{-\left( \ln \left( R/R_{o}\right) \right) ^{2}}{2\sigma _{o}^{2}}}\right. {\frac{{-\left( \ln \left( R/R_{o}\right) \right) ^{2}}}{{2\sigma _{o}^{2}}}} \left.\vphantom{ \frac{-\left( \ln \left( R/R_{o}\right) \right) ^{2}}{2\sigma _{o}^{2}}}\right) {\frac{{(R-r)^{2}\cdot (2R+r)}}{{2R^{3}}}}$$ =

$${\frac{{2e^{3R_{o}}-3e^{2R_{o}+\frac{\sigma _{o}^{2}}{2}}r+e^{\frac{9\sigma _{o}^{2}}{2}}r^{3}}}{{2e^{3R_{o}}}}}$$ = (3.17)

gdzie R_o jest mediana zas $\sigma_{{o}}^{}$ dyspersja rozkadu normalnego zmiennej log(R). Pochodna tej dystrybucji, wzieta w zerze i stanowiaca wspóczynnik kierunkowy dla ekstrapolacji w metodzie Warrena-Averbacha jest:

$$\left.\vphantom{ \frac{d}{dr}<SD>(r\approx 0,R_{o},\sigma _{o})}\right. {\frac{{d}}{{dr}}} \approx \sigma_{{o}}^{} \left.\vphantom{ \frac{d}{dr}<SD>(r\approx 0,R_{o},\sigma _{o})}\right\vert _{{r=0}}^{} \left.\vphantom{ \frac{d}{dr}\frac{2e^{3R_{o}}-3e^{2R_{o}+\frac{\sigma _{o}^{2}}{2}}r+e^{\frac{9\sigma _{o}^{2}}{2}}r^{3}}{2e^{3R_{o}}}}\right. {\frac{{d}}{{dr}}} {\frac{{2e^{3R_{o}}-3e^{2R_{o}+\frac{\sigma _{o}^{2}}{2}}r+e^{\frac{9\sigma _{o}^{2}}{2}}r^{3}}}{{2e^{3R_{o}}}}} \left.\vphantom{ \frac{d}{dr}\frac{2e^{3R_{o}}-3e^{2R_{o}+\frac{\... ...{2}}r+e^{\frac{9\sigma _{o}^{2}}{2}}r^{3}}{2e^{3R_{o}}}}\right\vert _{{r=0}}^{} {\frac{{3}}{{2e^{R_{o}-\frac{\sigma _{o}^{2}}{2}}}}}$$ (3.18)

zatem srednia dugosc kolumny (por. (2.7)):

$${\frac{{1}}{{a}}} {\frac{{2}}{{3}}} {\frac{{\sigma _{o}^{2}}}{{2}}} {\frac{{2}}{{3}}} {\frac{{\sigma _{o}^{2}}}{{2}}} \sigma_{{o}}^{{2}} {\frac{{2}}{{3}}} \sigma_{{o}}^{{2}}$$ (3.19)

zas sredni rozmiar ziarna:

$${\frac{{3}}{{2}}} \sigma_{{o}}^{{2}}$$ (3.20)

Podobnie jak w przypadku rozkadu wykadniczo-potegowego, otrzymywana z metody W-A srednia dugosc kolumny < L > jest nie tylko funkcja rozmiaru ale tez i dyspersji rozmiarów ziaren, której a priori nie znamy. Wyznaczany zas sredni rozmiar ziarna < R > jest nie tylko liniowa funkcja sredniej dugosci kolumny < L > (czego oczekiwalismy) ale tez wykadnicza funkcja wariancji $\sigma^{{2}}_{{o}}$ rozkadu wielkosci ziarentypeset@protect @@footnote SF@gobble@opt Dokadnie: funkcja dyspersji rozkadu normalnego zmiennej log(R). (co jest niepozadane). W praktyce czesto spotyka sie proszki, w których $\sigma_{{o}}^{}$ < 1 (por. §3.2) i bad oznaczenia < R > nie przekracza stu procent. Jednak w ogólnosci silna zaleznosc sredniego rozmiaru ziarna wyznaczanego metoda W-A od dyspersji $\sigma_{{o}}^{}$ moze prowadzic do wyników cakowicie przypadkowych. Tak wiec nie mozna precyzyjnie podac rozmiaru ziaren bez znajomosci dyspersji, a wiec bez wyznaczenia penego rozkadu ich wielkosci (por. [49]).