Rozkad wielkosci ziaren

ROZKAD WIELKOSCI ZIAREN

(Grain Size Distribution, GSD(r;R)) to gestosc prawdopodobienstwa znalezienia ziarna o rozmiarze (zwykle: srednicy) R. W zaleznosci od kontekstu GSD odnosi sie do liczby lub acznej objetosci ziaren o rozmiarze z przedziau (R, R + dR). W mikroskopii, gdzie GSD wyznacza sie liczac na zdjeciu ziarna róznych rozmiarów mowa jest zawsze o GSD w wersji ``liczbowej''. W metodach rentgenowskich, gdzie mierzony efekt jest proporcjonalny do objetosci materiau rozpraszajacego uzywa sie o wersji ``objetosciowej'' (volume fraction) GSD. W tej pracy wszedzie uzywamy drugiej postaci.

GSD(r;R) jest jedna z podstawowych wielkosci charakteryzujacych mikrostrukture proszków. Zaleznie od metody otrzymywania GSD(r;R) przyjmuje rózna postac. Dla proszków nanometrowych jest to najczesciej rozkad log-normalny [16]:

$$\sigma_{{o}}^{} {\frac{{1}}{{\sigma _{o}R\sqrt{2\pi }}}} \left(\vphantom{ -\frac{\left[ \ln \left( R/R_{o}\right) \right] ^{2}}{2\sigma _{o}^{2}}}\right. {\frac{{\left[ \ln \left( R/R_{o}\right) \right] ^{2}}}{{2\sigma _{o}^{2}}}} \left.\vphantom{ -\frac{\left[ \ln \left( R/R_{o}\right) \right] ^{2}}{2\sigma _{o}^{2}}}\right)$$ (2.6)

gdzie R_o jest wartoscia srednia zas $\sigma_{{o}}^{}$ dyspersja rozkadu normalnego zmiennej losowej log(R) (nie samego R)typeset@protect @@footnote SF@gobble@opt Indeks przy symbolu dyspersji $\sigma_{{o}}^{}$ podkresla, ze odnosi sie ona do rozkadu normalnego zmiennej log(R), w odróznieniu do dyspersji $\sigma$ rozkadu log-normalnego zmiennej R. [39], rys. 2.9. Wartosc oczekiwana rozkadu log-normalnego wynosi:

$$\int\limits^{{\infty }}_{{0}} {\frac{{1}}{{\sigma _{o}R\sqrt{2\pi }}}} \left(\vphantom{ -\frac{\left[ \ln \left( R/R_{o}\right) \right] ^{2}}{2\sigma _{o}^{2}}}\right. {\frac{{\left[ \ln \left( R/R_{o}\right) \right] ^{2}}}{{2\sigma _{o}^{2}}}} \left.\vphantom{ -\frac{\left[ \ln \left( R/R_{o}\right) \right] ^{2}}{2\sigma _{o}^{2}}}\right) {\frac{{\sigma _{o}^{2}}}{{2}}}$$ (2.7)

moment rzedu drugiego:

$$\int\limits^{{\infty }}_{{0}} {\frac{{1}}{{\sigma _{o}R\sqrt{2\pi }}}} \left(\vphantom{ -\frac{\left[ \ln \left( R/R_{o}\right) \right] ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right. {\frac{{\left[ \ln \left( R/R_{o}\right) \right] ^{2}}}{{2\sigma ^{2}}}} \left.\vphantom{ -\frac{\left[ \ln \left( R/R_{o}\right) \right] ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right) \sigma_{{o}}^{{2}}$$ (2.8)

zas dyspersjatypeset@protect @@footnote SF@gobble@opt Nalezy wyraznie odróznic zmienne tradycyjnie opisujace rozkad log-normalny (R_o i $\sigma_{{o}}^{}$) od wartosci oczekiwanej < R > i dyspersji $\sigma$ tego rozkadu. Niektóre rozkady, np. normalny, w naturalny sposób parametryzowane sa wielkosciami < R > i $\sigma$, jednak nie jest tak w przypadku rozkadu log-normalnego (ma wtedy bardzo skomplikowana postac). :

$$\sigma \sqrt{{<R^{2}>-<R>^{2}}} \sqrt{{e^{2(R_{o}+\sigma _{o}^{2})}-e^{R_{o}+\frac{\sigma _{o}^{2}}{2}}}}$$ (2.9)

Powszechnie uzywa sie modyfikacji rozkadu log-normalnego odwoujacej sie nie do R_o (mediany rozkadu normalnego zmiennej log(R)), lecz do maksimum rozkadu log-normalnego, R_max:

$$\sigma_{{o}}^{} {\frac{{1}}{{\sigma _{o}R\sqrt{2\pi }}}} \left(\vphantom{ \frac{-\left[ \ln \left( R/R_{max}\right) -\sigma _{o}^{2}\right] ^{2}}{2\sigma _{o}^{2}}}\right. {\frac{{-\left[ \ln \left( R/R_{max}\right) -\sigma _{o}^{2}\right] ^{2}}}{{2\sigma _{o}^{2}}}} \left.\vphantom{ \frac{-\left[ \ln \left( R/R_{max}\right) -\sigma _{o}^{2}\right] ^{2}}{2\sigma _{o}^{2}}}\right)$$ (2.10)

W tej pracy ``rozkad log-normalny'' bedzie oznacza jego wersje zmodyfikowana (2.10), chyba, ze zostanie wyraznie zasygnalizowane uzycie wersji podstawowej (2.6). Wielomodowy rozkad log-normalny GSD_mm(R) jest suma rozkadów jednomodowych:

GSD_mm(R) = $${\frac{{1}}{{N}}}$$$$\sum^{{N}}_{{j=1}}$$GSD(R;R_maxj,$$\sigma_{{o_{j}}}^{}$$),

gdzie sumowanie przebiega po wszystkich modach rozkadu. Asymetrycznosc rozkadu log-normalnego (rys. 2.9) odzwierciedla niezerowe prawdopodobienstwo znalezienia w proszku ziaren duzo wiekszych niz srednie (istnieje szansa na wykrystalizowanie duzych krystalitów), przy ostrym ograniczeniu wielkosci ziaren od dou.

Figure 2.9: Przykad log-normalnego ROZKADU WIELKOSCI ZIAREN o parametrach (R_max,$\sigma_{{o}}^{}$) = (50, 1). Na skali liniowej (wykres po lewej) widac asymetrycznosc rozkadu: prawdopodobienstwa znalezienia ziaren o R = 10 oraz R = 300 sa jednakowe, pomimo, ze maksimum rozkadu wypada dla R = 50. Wykres w skali pó-logarytmicznej (po prawej) wyjasnia powinowactwo do rozkadu normalnego.