Funkcja korelacji warstw

Rozwazmy zespó statystyczny skadajacy sie z duzej liczby N nieskonczonych, krysztaów o strukturze najgestszego upakowaniatypeset@protect @@footnote SF@gobble@opt W szczególnosci moga to byc politypowe struktury nieuporzadkowane. (patrz rys. 1.6). Umiescmy kazdy z nich w osobnym, kartezjanskim, prawoskretnym ukadzie wspórzednych w nastepujacy sposób:

1. Niech paszczyzny krystaliczne (0001) krysztau beda równolege do paszczyzny X - Y ukadu.
2. Jednostka osi X i Y niech bedzie staa sieci a.
3. Jednostka osi Z niech bedzie odlegosc miedzy sasiednimi warstwami (z bedzie wtedy numerowac warstwy).
4. Niech jeden z atomów warstwy z = 0 bedzie umieszczony w punkcie (0, 0, 0). Warstwe ta nazwijmytypeset@protect @@footnote SF@gobble@opt Umawiamy sie nazywac warstwy przesuniete o $\left(\vphantom{ 0,0,z}\right.$0, 0, z$\left.\vphantom{ 0,0,z}\right)$ $\rightarrow$ A; $\left(\vphantom{ \frac{2}{3},\frac{1}{3},z}\right.$${\frac{{2}}{{3}}}$,${\frac{{1}}{{3}}}$, z$\left.\vphantom{ \frac{2}{3},\frac{1}{3},z}\right)$ $\rightarrow$B; $\left(\vphantom{ \frac{1}{3},\frac{2}{3},z}\right.$${\frac{{1}}{{3}}}$,${\frac{{2}}{{3}}}$, z$\left.\vphantom{ \frac{1}{3},\frac{2}{3},z}\right)$ $\rightarrow$ C. A (tzn. znajdujaca w pozycji A).
5. Niech jego odpowiednik w warstwie z = 1 bedzietypeset@protect @@footnote SF@gobble@opt Skoro nazwalismy warstwe z = 0 'A', warstwa z = 1 musi byc 'B' lub 'C'. Wymagamy teraz, zeby bya ona wasnie 'B'. Mozna to wymusic obracajac w razie potrzeby kryszta wokó osi Z o 180 (co przeprowadza wszystkie warstwy 'C' na 'B' i odwrotnie). umieszczony w punkcie $\left(\vphantom{ \frac{2}{3},\frac{1}{3},1}\right.$${\frac{{2}}{{3}}}$,${\frac{{1}}{{3}}}$, 1$\left.\vphantom{ \frac{2}{3},\frac{1}{3},1}\right)$. Warstwe ta nazwijmy B (tzn. znajdujaca w pozycji B).

Opiszmy sekwencje politypowa pojedynczego krysztau ciagiem liter S_z odpowiadajacych pozycjom warstw, np. ...S_-3S_-2S_-1S₀S₁S₂S₃... = ...ABCABCAB.... Warunki 4 i 5 mozemy teraz zapisac nastepujaco:

S_z=0 = A, S_z=1 = B (2.11)

W ten sposób definiujemy pozycje i skretnosc krysztau.

FUNKCJA KORELACJI WARSTW (Layer Correlation Function, LCF) LCF_{z, A}, LCF_{z, B}, LCF_{z, C} nazywamy prawdopodobienstwotypeset@protect @@footnote SF@gobble@opt Scisle rzecz biorac jest to prawdopodobienstwo warunkowe przy warunkach ustalonych w pkt.4 i 5, tzn. ze w z = 0 zawsze znajduje sie warstwa A, zas w z = 1 zawsze znajduje sie warstwa B. tego, ze z-ta warstwa krysztau bedzie odpowiednio w pozycji A, B lub C:

$${\frac{{1}}{{N}}} \sum^{{N}}_{{k=1}} \delta_{{l,S^{k}_{z}}}^{}$$ (2.12)

gdzie z jest numerem warstwy; l indeksuje pozycje warstw (A, B lub C); indeks k numeruje krysztay; $\delta$ oznacza delte Kroneckera, zas ...S^k_z(= A, B, C)... opisuje sekwencje politypowa k-tego krysztau.

Dla poszczególnych warstw wyrazenie (2.12) przyjmuje nastepujace postacie:

$${\frac{{1}}{{N}}} \sum^{{N}}_{{k=1}} \delta_{{A,S^{k}_{z}}}^{}$$ (2.13)

$${\frac{{1}}{{N}}} \sum^{{N}}_{{k=1}} \delta_{{B,S^{k}_{z}}}^{}$$ (2.14)

$${\frac{{1}}{{N}}} \sum^{{N}}_{{k=1}} \delta_{{C,S^{k}_{z}}}^{}$$ (2.15)

Jak widac, w przypadku gdy z = 0 funkcje korelacji warstw redukuja sie do postaci LCF_{A, z=0} = 1, LCF_{B, z=0} = 0, LCF_{C, z=0} = 0.

FUNKCJA KORELACJI WARSTW opisuje stopien jednowymiarowego nieuporzadkowania struktury najgestszego upakowania, rys.2.10.

Figure: FUNKCJA KORELACJI WARSTW (Layer Correlation Function, LCF): Prawdopodobienstwo P(A), P(B) i P(C), ze odlega warstwa bedzie odpowiednio w pozycji A, B lub C, gdy warstwa odniesienia z = 0 jest w pozycji A. LCF dla róznych rodzajów nieuporzadkowania: a) czysty polityp 3C: P(h) = 0; b) nieuporzadkowana struktura 3C: P(h) = 0.1; c) nieuporzadkowana struktura 2H: P(h) = 0.9; d) czysty polityp 2H: P(h) = 1. Dla struktur nieporzadkowanych (b,c) i odlegych warstw korelacje zanikaja a LCF dazy do wartosci sredniej ${\frac{{1}}{{3}}}$.

a)	b)
c)	d)

Dla struktur uporzadkowanych (periodycznych w kierunku krystalograficznym c) LCF jest periodyczna i ma okres równy okresowi struktury. Dla struktur nieuporzadkowanych LCFtypeset@protect @@footnote SF@gobble@opt Na rys. 2.10 skrótowe oznaczenia P(A), P(B) i P(C) oznaczaja P(A) = LCF_{z, A}, P(B) = LCF_{z, B} i P(C) = LCF_{z, C}. jest zbiezna do staej wartosci ${\frac{{1}}{{3}}}$ (rys.2.10b,c). W tym przypadku zbieznosc jest saba (osiagana jest dla $\left\vert\vphantom{ z}\right.$z$\left.\vphantom{ z}\right\vert$ $\approx$ 20). Dla struktur silnie nieuporzadkowanych (gdzie parametr heksagonalnosci P(h) $\in$ (0.3÷0.7)) LCF zbiega do ${\frac{{1}}{{3}}}$ bardzo szybko - juz dla warstw $\left\vert\vphantom{ z}\right.$z$\left.\vphantom{ z}\right\vert$ < 5 bedacych najblizszymi sasiadami warstwy odniesienia z = 0.