Rozmiar ziarna w proszku polidyspersyjnym

Poprzednio pokazalismy, ze dla proszku o jednym wymiarze ziarna istnieje liniowa relacja pomiedzy rozmiarem ziarna a dugoscia kolumny komórek elementarnych wyznaczana metoda Warrena-Averbacha, co stanowi podstawe jej dziaania. Sprawdzimy teraz postac tej samej relacji dla proszków zozonych z kulistych ziaren z rozrzutem rozmiarów. Procedury Warrena-Averbacha uzyjemy w odniesieniu do dystrybucji ksztatu usrednionej po rozmiarach wszystkich krystalitów w proszku < SD >:

$${\frac{{1}}{{a}}} {\frac{{1}}{{\left. \frac{d}{dr}<SD>\right\vert _{r=0}}}} {\frac{{1}}{{\left. \frac{d}{dr}\int\limits _{0}^{\infty }GSD(R;<R>,\sigma )\cdot SD(r;R)\, dR\right\vert _{r=0}}}}$$ < L > =

$${\frac{{1}}{{\int\limits _{0}^{\infty }GSD(R;<R>,\sigma )\cdot \left. \frac{d}{dr}SD(r;R)\right\vert _{r=0}dR}}}$$ = (3.8)

Pochodna dystrybucji ksztatu w zerze ma postac ${\frac{{d}}{{dr}}}$SD(r;R) = - ${\frac{{A}}{{R}}}$, gdzie A jest staa zalezna od ksztatu ziarna, np. A = ${\frac{{3}}{{2}}}$ dla krysztaów kulistych czy A = 1 dla krysztaów w formie graniastosupa. Stad:

$${\frac{{1}}{{A\cdot \int\limits _{0}^{\infty }GSD(R;<R>,\sigma )\cdot R^{-1}dR}}} {\frac{{1}}{{A\cdot <R^{-1}>}}}$$ (3.9)

Tak wiec srednia dugosc kolumny komórek elementarnych otrzymywana z analizy W-A jest proporcjonalna do odwrotnosci momentu statystycznego rzedu -1 rozkadu wielkosci ziaren < R^-1 >. Przeciwnie do momentu rzedu 1, który jest wartoscia srednia rozkadu < R > (czyli srednim rozmiarem ziarna), moment < R^-1 > nie jest stowarzyszony z zadna fizycznie interpretowalna wielkoscia. Zaozenie teorii W-A o liniowej relacji pomiedzy srednia dugoscia kolumny < L > a srednim rozmiarem ziarna < R > jest wiec spenione tylko w szczególnym przypadku, o ile zachowana jest równosc:

$${\frac{{1}}{{<R^{-1}>}}}$$ = < R > (3.10)

$${\frac{{1}}{{\int\limits _{0}^{\infty }GSD(R;<R>,\sigma )\cdot R^{-1}dR}}} \int\limits_{{0}}^{{\infty }} \sigma$$ = (3.11)

Jest to prawda wtedy i tylko wtedy, gdy:

$$\sigma \delta \Rightarrow \sigma$$ (3.12)

czyli gdy rozkad wielkosci ziaren ma postac delty Dirac'a. Wtedy caki po obu stronach równania znikaja i otrzymujemy tozsamosc ${\frac{{1}}{{R^{-1}}}}$ = R. Innymi sowy metoda Warrena-Averbacha dziaa poprawnie tylko pod warunkiem braku rozrzutu wielkosci krystalitów w proszku ($\sigma$ = 0). Jednak rzeczywiste proszki zawsze posiadaja pewna dyspersje rozmiarów ziaren. Postaramy sie okreslic wpyw dyspersji na mozliwe bedy na przykadzie wykadniczo-potegowego i log-normalnego rozkadu wielkosci ziaren.