Model proszku z rozkadem wielkosci ziaren

Postac ROZKADU WIELKOSCI ZIAREN (GSD(r;R), §2.1.4) nanoproszku zalezy od mechanizmu jego syntezy. Najczesciej przyjmuje on forme rozkadu log-normalnego (rys. 2.9) jednomodowego:

GSD(R;R_max,$$\sigma_{{o}}^{}$$) = $${\frac{{1}}{{\sigma _{o}R\sqrt{2\pi }}}}$$exp$$\left(\vphantom{ \frac{-\left[ \ln \left( R/R_{max}\right) -\sigma _{o}^{2}\right] ^{2}}{2\sigma _{o}^{2}}}\right.$$$${\frac{{-\left[ \ln \left( R/R_{max}\right) -\sigma _{o}^{2}\right] ^{2}}}{{2\sigma _{o}^{2}}}}$$$$\left.\vphantom{ \frac{-\left[ \ln \left( R/R_{max}\right) -\sigma _{o}^{2}\right] ^{2}}{2\sigma _{o}^{2}}}\right)$$

lub wielomodowego:

GSD_mm(R) = $${\frac{{1}}{{N}}}$$$$\sum_{{j}}^{}$$GSD(R;R_{max, j},$$\sigma_{{o_{j}}}^{}$$),

gdzie sumowanie przebiega po wszystkich modach rozkadu. Aby wprowadzic niezerowa dyspersje rozmiarów ziaren proszku, nalezy zmodyfikowac dystrybucje ksztatu ziarna tak, aby opisywaa rozmiar nie jednego, konkretnego lecz sredniego ziarna proszku. Przejscie od dystrybucji ksztatu ziarna SD(r;R) do usrednionej dystrybucji ksztatu ziarna < SD > mozna zapisac, rys. 2.13:

< SD > (r;R_max,$$\sigma_{{o}}^{}$$) = $$\int\limits^{{\infty }}_{{0}}$$SD(r;R) ^. GSD(R;R_max,$$\sigma_{{o}}^{}$$) dR

lecz w praktyce:

< SD > (r;R_max,$$\sigma_{{o}}^{}$$) = $$\int\limits^{{\sim 10\cdot R_{max}\sigma _{o}}}_{{0}}$$SD(r;R) ^. GSD(R;R_max,$$\sigma_{{o}}^{}$$) dR

Poniewaz rozkad log-normalny jest niezerowy dla wszystkich dodatnich argumentów, konieczne jest arbitralne ustanowienie najwiekszej uzytecznej wielkosci ziarna. Taka granica moze byc np. R $\cong$ 10 ^. R_max$\sigma_{{o}}^{}$, gdzie R_max jest oczekiwanym maksimum GSD(r;R) zas $\sigma_{{o}}^{}$ jego dyspersja.

Figure 2.13: (a) DYSTRYBUCJE KSZTATU ( SD) odpowiadajace trzem log-normalnym ROZKADOM WIELKOSCI ZIAREN ( GSD) posiadajacym to samo maksimum R_max = 50Å lecz rózne dyspersje: $\sigma_{{o}}^{}$ = 0 (delta Diraca, linia przerywana), $\sigma_{{o}}^{}$ = 0.5 i $\sigma_{{o}}^{}$ = 1. (b) Dyfraktogramy SiC obliczone dla GSD: $\sigma_{{o}}^{}$ = 0 (linia przerywana) i $\sigma_{{o}}^{}$ = 0.5 (linia ciaga). Proszek polidyspersyjny stanowi dobre przyblizenie proszku rzeczywistego. Znikaja oscylacje interferencyjne.

a)

b)

Dystrybucje ksztatu (np. rys. 2.7 i 2.13a) sa wolnozmienne i cakowalne numerycznie w zaniedbywalnym czasie. Wprowadzenie rozkadu wielkosci ziaren praktycznie nie zwieksza czasu obliczen opisanego w paragrafie 2.2.2. Zastosowanie go w obliczeniach dyfrakcji przeprowadza natomiast proszek monodyspersyjny w polidyspersyjny, który dobrze opisuje rzeczywistosc fizyczna. Widac to chociazby poprzez porównanie profili dyfrakcyjnych, rys. 2.13b. Dyfraktogramy obliczone metoda Debye'a z uwzglednieniem rozkadu wielkosci ziaren stanowia dobre przyblizenie krzywych mierzonych eksperymentalnie.

Figure 2.14: (a) Profile dyfrakcyjne proszku SiC o strukturze regularnej wyliczone przy uzyciu RDF(r) i dystrybucji ksztatu sredniego ziarna dla rozkadów wielkosci ziaren o maksimach od R_max = 10Å do 90Å przy dyspersji $\sigma_{{o}}^{}$ = 0.1. (b) refleks SiC (111).

a)

b)