Profil linii dyfrakcyjnej dla krysztaów kulistych

Krysztay nie wykazujace wyraznej anizotropii ksztatu moga byc traktowane jako kuliste. To samo dotyczy krysztaów o ksztatach nieregularnych lub anizotropowych lecz w losowych kierunkach (np. rozdrobnionych monokrysztaów kubicznych) oraz wieloscianów foremnych o duzej liczbie scian (rys. 2.19). We wszystkich wspomnianych przypadkach dystrybucja ksztatu kuli jest bardzo dobrym lub najlepszym przyblizeniem dystrybucji ksztatu krysztau.

Figure 2.19: Typowe ksztaty krysztaów sa dobrze opisywane dystrybucja ksztatu kuli. a) sciety czworoscian, b) sciety szescian, c) sciety osmioscian, d) sciety dwunastoscian, e) kryszta kwarcu, f) kryszta granatu, g) kryszta topazu. Reprodukcje wieloscianów z [43], modele mineraów wyliczono uzywajac [44].

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Dystrybucja ksztatu kuli jest znana w postaci analitycznej (2.5):

SD(r;R) = $$\left\{\vphantom{ \begin{array}{cc} 0 & r<0\\ \frac{(R-r)^{2}\cdot (2R+r)}{2R^{3}} & 0\leq r\leq R\\ 0 & R<r \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{cc} 0 & r<0\\ \frac{(R-r)^{2}\cdot (2R+r)}{2R^{3}} & 0\leq r\leq R\\ 0 & R<r \end{array}$$

oraz posiada analityczna transformate Fouriera, czyli profil linii dyfrakcyjnej LP(q) proszku zozonego z identycznych krystalitów w ksztacie kuli:

$${\frac{{3}}{{\sqrt{2\pi }}}} {\frac{{2+q^{2}R^{2}-2\cos qR-2qR\sin qR}}{{q^{4}R^{3}}}}$$ (2.32)

gdzie R jest srednica krystalitów zas q jest wektorem rozpraszania. Opisywany przez (2.32) profil linii (rys. 2.20) zgadza sie z ksztatem maksimów otrzymywanych przy obliczaniu dyfraktogramów ab initio.

Figure 2.20: a) Dystrybucja ksztatu kulistego ziarna o srednicy 50 Å i jej transformata Fouriera (b) czyli profil linii dyfrakcyjnej.

a)

b)

Natezenie maksimum profilu otrzymuje sie przez przejscie do granicy q $\rightarrow$ 0 w wyrazeniu (2.32):

$$\lim_{{q\rightarrow 0}}^{} \lim_{{q\rightarrow 0}}^{} {\frac{{3}}{{\sqrt{2\pi }}}} {\frac{{2+q^{2}R^{2}-2\cos qR-2qR\sin qR}}{{q^{4}R^{3}}}} {\frac{{3R}}{{4\sqrt{2\pi }}}}$$ (2.33)

Podobnie jak poprzednio, przez porównanie (2.32) i poowy (2.33) mozna wyprowadzic zaleznosc szerokosci poówkowej profilu linii dyfrakcyjnej od wielkosci krysztau, czyli równanie Scherrera.