Równanie i staa Scherrera dla krysztaów kulistych

Porównujac wyrazenie na profil linii dyfrakcyjnej (2.32) z poowa wysokosci tej linii (2.33) otrzymujemy:

LP(q) = $${\frac{{1}}{{2}}}$$$${\frac{{3R}}{{4\sqrt{2\pi }}}}$$

$${\frac{{3}}{{\sqrt{2\pi }}}}$$$${\frac{{2+q^{2}R^{2}-2\cos qR-2qR\sin qR}}{{q^{4}R^{3}}}}$$ = $${\frac{{1}}{{2}}}$$$${\frac{{3R}}{{4\sqrt{2\pi }}}}$$

Po prostych przeksztaceniach dostajemy:

$${\frac{{-16-8q^{2}R^{2}+q^{4}R^{4}+16\cos qR+16qR\sin qR}}{{q^{4}R^{3}}}}$$ = 0

Wprowadzajac nieznikajaca zmienna bezwymiarowa x = qR i zaniedbujac mianownik mamy:

$$\left(\vphantom{ 2-\cos x-x\sin x}\right. \left.\vphantom{ 2-\cos x-x\sin x}\right)$$ (2.34)

Powyzsze równanie jest przestepne i posiada pojedynczy dodatni pierwiastek, x_o, który mozna znalezc graficznie

Figure: (a) Graficzne rozwiazanie równania przestepnego (2.34) wyznaczajacego staa Scherrera dla krysztaów w ksztacie kuli. Pierwiastek równania wynosi ok.  3.47665688, zas staa Scherrera K $\approx$ 1.10665425. (b) Dla porównania: staa Scherrera wyznaczona z dziewieciu refleksów SiC, GaN i diamentu obliczonych ab initio K = 1.097$\pm$0.044.

a)

b)

(rys. 2.21a) lub numerycznie z dowolna skonczona precyzja. Wynosi on:

x_o $$\approx$$ 3.47665688

Po ponownym podstawieniu x = qR = x_o otrzymujemy zaleznosc poowy szerokosci profilu linii q od wielkosci krysztau R:

q = $${\frac{{x_{o}}}{{R}}}$$

Pamietajac, ze szerokosc poówkowa FWHM = 2q, dostajemy równanie Scherrera:

$${\frac{{2x_{o}}}{{R}}} {\frac{{2\pi K}}{{R}}}$$ (2.35)

gdzie K jest staa Scherrera. Z rozwiazania równania przestepnego (2.34) i równania Scherrera (2.35) wynika przyblizona wartosc staej Scherrera dla krysztaów w ksztacie kuli:

$${\frac{{2x_{o}}}{{2\pi }}} \approx$$ (2.36)

Podobnie jak poprzednio, przy wyprowadzaniu równania Scherrera wykorzystano tylko analityczna postac dystrybucji ksztatu kuli nie korzystajac dalej z zadnych przyblizen, wiec staa Scherrera moze byc wyznaczona ta metoda z dowolnie duza precyzja. Dla porównania obliczono wartosc staej Scherrera na podstawie kilku najsilniejszych refleksów SiC, GaN i diamentu (rys. 2.21b) z ich dyfraktogramów obliczonych ab initio. Z dopasownia zaleznosci FWHM(R) tych refleksów w skali log-log (rys. 2.21b) otrzymano zwiazek FWHM(R) = 6.89153/R. Stad staa Scherrera K = ${\frac{{6.89153}}{{2\pi }}}$ = 1.097$\pm$0.044.