Prawo Poroda dla krysztaów kulistych

Dalsza analiza profilu linii dyfrakcyjnej (2.32):

LP = $${\frac{{3}}{{\sqrt{2\pi }}}}$$$${\frac{{2+q^{2}R^{2}-2\cos qR-2qR\sin qR}}{{q^{4}R^{3}}}}$$

moze prowadzic do ustalenia, w jakich warunkach profil linii maleje jak I $\sim$ q^-4, czyli spenia prawo Poroda. Aby to ustalic przepiszemy licznik (2.32), podstawiajac jak poprzednio x = qR i zaniedbujac stae:

x² + 2(1 - cos x - x sin x) (2.37)

Analiza przebiegu powyzszej funkcji (rys. 2.22a) pokazuje, ze jest ona przedziaami wolnozmienna. Istotnie, jej pochodna (rys. 2.22b):

$${\frac{{d}}{{dx}}} \left[\vphantom{ x^{2}+2(1-\cos x-x\sin x)}\right. \left.\vphantom{ x^{2}+2(1-\cos x-x\sin x)}\right] {\frac{{x}}{{2}}}$$ (2.38)

znika dla x = 2n$\pi$, n = 1, 2, 3.... Tak wiec w otoczeniu qR $\approx$ 2n$\pi$, mozemy traktowac licznik (2.32) jako stay i zapisac wyrazenie na profil linii dyfrakcyjnej w postaci:

$${\frac{{const}}{{q^{4}}}}$$ (2.39)

czyli jako prawo Poroda.

Figure 2.22: a) Licznik wyrazenia na profil linii dyfrakcyjnej (2.37) jest funkcja przedziaami wolnozmienna: jej pochodna (b) zeruje sie dla qR = 2n$\pi$. c) Warunek qR $\approx$ 2$\pi$ definiuje obszar profilu linii, gdzie spenione jest prawo Poroda. Dalsze harmoniczne ( n = 2, 3...) maja wielokrotnie nizsze natezenia i nie sa obserwowane (z wyjatkiem SAS). d) Profil linii w skali log-log: poozenie odcinka prostej o nachyleniu I $\sim$ q^-4 pozwala ustalic wielkosc rozpraszajacego krysztau jako R = ${\frac{{2\pi }}{{q}}}$. e) Warunek qR = 2n$\pi$ na dyfraktogramie obliczonym ab initio dla proszku bez rozkadu wielkosci ziaren (krzywa z oscylacjami) i z rozkadem log-normalnym (krzywe bez oscylacji).

a)	c)
b)	d)
e)

Warunek qR $\approx$ 2n$\pi$ jest wazny zarówno dla bragowskich linii dyfrakcyjnych jak i profilu rozpraszania niskokatowego, gdyz teoria Debye'a nie czyni zadnych zaozen co do struktury atomowej rozpraszajacych obiektów. Jednak mierzone w obu tych przypadkach natezenia róznia sie typowo o 3-4 rzedy wielkosci co zmusza do ich osobnej interpretacji.