R�wnanie i sta�a Scherrera dla kryszta��w kulistych

Równanie i staa Scherrera dla krysztaów kulistych

Porównujac wyrazenie na profil linii dyfrakcyjnej (2.32) z poowa wysokosci tej linii (2.33) otrzymujemy:

LP(q) = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ $\displaystyle {\frac{{3R}}{{4\sqrt{2\pi }}}}$

$\displaystyle {\frac{{3}}{{\sqrt{2\pi }}}}$ $\displaystyle {\frac{{2+q^{2}R^{2}-2\cos qR-2qR\sin qR}}{{q^{4}R^{3}}}}$ = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ $\displaystyle {\frac{{3R}}{{4\sqrt{2\pi }}}}$

Po prostych przeksztaceniach dostajemy:

$\displaystyle {\frac{{-16-8q^{2}R^{2}+q^{4}R^{4}+16\cos qR+16qR\sin qR}}{{q^{4}R^{3}}}}$ = 0

Wprowadzajac nieznikajaca zmienna bezwymiarowa x = qR i zaniedbujac mianownik mamy:

(x² - 4)² - 16 $\displaystyle \left(\vphantom{ 2-\cos x-x\sin x}\right.$ 2 - cos x - x sin x $\displaystyle \left.\vphantom{ 2-\cos x-x\sin x}\right)$ = 0

(2.34)

Powyzsze równanie jest przestepne i posiada pojedynczy dodatni pierwiastek, x_o, który mozna znalezc graficznie

**Figure:** (a) Graficzne rozwiazanie równania przestepnego (2.34) wyznaczajacego staa Scherrera dla krysztaów w ksztacie kuli. Pierwiastek równania wynosi ok. 3.47665688, zas staa Scherrera K $\approx$ 1.10665425. (b) Dla porównania: staa Scherrera wyznaczona z dziewieciu refleksów *SiC*, *GaN* i *diamentu* obliczonych ab initio K = 1.097 $\pm$ 0.044.
a) $\resizebox{0.55\columnwidth}{!}{\includegraphics{eps/theory/scherrer_const_equation.eps}}$ b) $\resizebox{0.35\columnwidth}{!}{\includegraphics{eps/scherrer/fwhms_vs_size.eps}}$

(rys. 2.21a) lub numerycznie z dowolna skonczona precyzja. Wynosi on:

x_o $\displaystyle \approx$ 3.47665688

Po ponownym podstawieniu x = qR = x_o otrzymujemy zaleznosc poowy szerokosci profilu linii q od wielkosci krysztau R:

q = $\displaystyle {\frac{{x_{o}}}{{R}}}$

Pamietajac, ze szerokosc poówkowa FWHM = 2q, dostajemy równanie Scherrera:

FWHM = $\displaystyle {\frac{{2x_{o}}}{{R}}}$ = $\displaystyle {\frac{{2\pi K}}{{R}}}$ ,

(2.35)

gdzie K jest staa Scherrera. Z rozwiazania równania przestepnego (2.34) i równania Scherrera (2.35) wynika przyblizona wartosc staej Scherrera dla krysztaów w ksztacie kuli:

K = $\displaystyle {\frac{{2x_{o}}}{{2\pi }}}$ $\displaystyle \approx$ 1.1066542545498348775

(2.36)

Podobnie jak poprzednio, przy wyprowadzaniu równania Scherrera wykorzystano tylko analityczna postac dystrybucji ksztatu kuli nie korzystajac dalej z zadnych przyblizen, wiec staa Scherrera moze byc wyznaczona ta metoda z dowolnie duza precyzja. Dla porównania obliczono wartosc staej Scherrera na podstawie kilku najsilniejszych refleksów SiC, GaN i diamentu (rys. 2.21b) z ich dyfraktogramów obliczonych ab initio. Z dopasownia zaleznosci FWHM(R) tych refleksów w skali log-log (rys. 2.21b) otrzymano zwiazek FWHM(R) = 6.89153/R. Stad staa Scherrera K = ${\frac{{6.89153}}{{2\pi }}}$ = 1.097 $\pm$ 0.044.

roman pielaszek 2003-01-13